Рівняння прямої на площині.

1. Рівняння прямої на площині - визначення.
2. Загальне рівняння прямої.
3. Рівняння прямої у відрізках.
4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.
5. Канонічне рівняння прямої на площині.
6. Параметричні рівняння прямої на площині.
7. Нормальне рівняння прямої.

Ця стаття є продовженням розділу пряма на площині . Тут ми перейдемо до алгебраическому опису прямій лінії за допомогою рівняння прямої.

Матеріал даної статті є відповіддю на питання: «Яке рівняння називають рівнянням прямої і який вигляд має рівняння прямої на площині»?

Рівняння прямої на площині - визначення.

Нехай на площині зафіксована прямокутна декартова система координат Oxy і в ній задана пряма лінія.

Пряма, як і будь-яка інша геометрична фігура, складається з точок. В фіксованою прямокутної системі координат кожна точка прямої має свої координати - абсциссу і ординату. Так ось залежність між абсцисою і ординатою кожної точки прямої у фіксованій системі координат, може бути задана рівнянням, яке називають рівнянням прямої на площині.

Іншими словами, рівняння прямої на площині в прямокутній системі координат Oxy є деякий рівняння з двома змінними x і y, яке звертається в тотожність при підстановці в нього координат будь-якої точки цієї прямої.

Залишилося розібратися з питанням, який вигляд має рівняння прямої на площині. Відповідь на нього міститься в наступному пункті статті. Забігаючи наперед, відзначимо, що існують різні форми запису рівняння прямої, що пояснюється специфікою вирішуваних завдань і способом завдання прямої лінії на площині . Отже, приступимо до огляду основних видів рівняння прямої лінії на площині.

Загальне рівняння прямої.

Вид рівняння прямої в прямокутній системі координат Oxy на площині задає наступна теорема.

рівняння називається загальним рівнянням прямої на площині.

Пояснимо сенс теореми.

Заданому рівнянню виду відповідає пряма на площині в даній системі координат, а прямій лінії на площині в даній системі координат відповідає рівняння прямої виду .

Подивіться на креслення.

З одного боку можна сказати, що ця лінія визначається загальним рівнянням прямої виду , Так як координати будь-якої точки зображеної прямий задовольняють цьому рівнянню. З іншого боку, безліч точок площині, що визначаються рівнянням , Дають нам пряму лінію, наведену на кресленні.

Загальне рівняння прямої називається повним, якщо все числа А, В і С відмінні від нуля, в іншому випадку загальне рівняння прямої називається неповним. Неповне рівняння прямої виду визначають пряму, що проходить через початок координат. При А = 0 рівняння задає пряму, паралельну осі абсцис Ox, а при В = 0 - паралельну осі ординат Oy.

Таким чином, будь-яку пряму на площині в заданій прямокутній системі координат Oxy можна описати за допомогою загального рівняння прямої при деякому наборі значень чисел А, В і С.

Нормальний вектор прямої , Заданої загальним рівнянням прямої виду , Має координати .

Всі рівняння прямих, які наведені в наступних пунктах цієї статті, можуть бути отримані із загального рівняння прямої, а також можуть бути назад приведені до спільного рівняння прямої.

Рекомендуємо до подальшого вивчення статтю загальне рівняння прямої . Там доведена теорема, сформульована на початку цього пункту статті, наведені графічні ілюстрації, детально розібрані рішення прикладів на складання загального рівняння прямої, показаний перехід від загального рівняння прямої до рівнянь іншого виду і назад, а також розглянуті інші характерні завдання.

Рівняння прямої у відрізках.

Рівняння прямої виду , Де a і b - деякі дійсні числа відмінні від нуля, називається рівнянням прямої в відрізках. Ця назва не випадкова, тому що абсолютні величини чисел а і b рівні довжинах відрізків, які пряма відсікає на координатних осях Ox і Oy відповідно (відрізки відраховуються від початку координат). Таким чином, рівняння прямої в відрізках дозволяє легко будувати цю пряму на кресленні. Для цього слід відзначити в прямокутній системі координат на площині точки з координатами і , І за допомогою лінійки з'єднати їх прямою лінією.

Для прикладу побудуємо пряму лінію, задану рівнянням у відрізках виду . відзначаємо точки і з'єднуємо їх.

Детальну інформацію про цей вид рівняння прямої на площині Ви можете отримати в статті рівняння прямої в відрізках .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Рівняння прямої виду , Де x і y - змінні, а k і b - деякі дійсні числа, називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом (k - кутовий коефіцієнт). Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом нам добре відомі з курсу алгебри середньої школи. Такий вид рівняння прямої дуже зручний для дослідження, так як змінна y є явну функцію аргументу x.

Визначення кутового коефіцієнта прямої дається через визначення кута нахилу прямої до позитивного напрямку осі Ox.

Кутом нахилу прямої до позитивного напрямку осі абсцис в даній прямокутній декартовій системі координат Oxy називають кут , Відлічуваний від позитивного напрямку осі Ох до даної прямої проти годинникової стрілки.

Якщо пряма паралельна осі абсцис або збігається з нею, то кут її нахилу вважають рівним нулю.

Кутовий коефіцієнт прямої є тангенс кута нахилу цієї прямої, тобто, .

Якщо пряма паралельна осі ординат, то кутовий коефіцієнт звертається в нескінченність (в цьому випадку також кажуть, що кутовий коефіцієнт не існує). Іншими словами, ми не можемо написати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом для прямої, паралельної осі Oy або збігається з нею.

Зауважимо, що пряма, яка визначається рівнянням , Проходить через точку на осі ординат.

Таким чином, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом визначає на площині пряму, що проходить через точку і утворить кут з позитивним напрямком осі абсцис, причому .

Як приклад покажемо пряму, яка визначається рівнянням виду . Ця пряма проходить через точку і має нахил радіан (60 градусів) до позитивного напрямку осі Ox. Її кутовий коефіцієнт дорівнює .

Відмітимо, що рівняння дотичної до графіка функції в точці дуже зручно шукати саме в вигляді рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Рекомендуємо продовжити вивчення цієї теми в розділі рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом . Там представлена ​​більш детальна інформація, наведені графічні ілюстрації, детально розібрані рішення характерних прикладів і завдань.

Канонічне рівняння прямої на площині.

Канонічне рівняння прямої на площині в прямокутній декартовій системі координат Oxy має вигляд , де і - деякі дійсні числа, причому і одночасно не рівні нулю.

Очевидно, що пряма лінія, яка визначається канонічним рівнянням прямої, проходить через точку . У свою чергу числа і , Що стоять в знаменниках дробів, являють собою координати направляючого вектора цієї прямої. Таким чином, канонічне рівняння прямої в прямокутній системі координат Oxy на площині відповідає прямій, що проходить через точку і має направляючий вектор .

Для прикладу покажемо на площині пряму лінію, відповідну канонічного рівняння прямої виду . Очевидно, що точка належить прямій, а вектор є напрямних вектором цієї прямої.

Канонічне рівняння прямої виду використовують навіть тоді, коли одне з чисел або дорівнює нулю. У цьому випадку запис вважають умовної (так як міститься нуль в знаменнику) і її слід розуміти як . якщо , То канонічне рівняння набирає вигляду і визначає пряму, паралельну осі ординат (або збігається з нею). якщо , То канонічне рівняння прямої набирає вигляду і визначає пряму, паралельну осі абсцис (або збігається з нею).

Детальна інформація про рівнянні прямої в канонічному вигляді, а також докладні рішення характерних прикладів і завдань зібрані в статті канонічне рівняння прямої на площині .

Параметричні рівняння прямої на площині.

Параметричні рівняння прямої на площині мають вигляд , де і - деякі дійсні числа, причому і одночасно не рівні нулю, а - параметр, який приймає будь-які дійсні значення.

Параметричні рівняння прямої встановлюють неявну залежність між абсциссами і координатами точок прямої лінії за допомогою параметра (Звідси і назва цього виду рівнянь прямої).

пара чисел , Які обчислюються за параметричним рівнянням прямої при деякому дійсному значенні параметра , Являє собою координати деякої точки прямої. Наприклад, при маємо , Тобто, точка з координатами лежить на прямій.

Слід зазначити, що коефіцієнти і при параметрі в параметричних рівняннях прямої є координатами направляючого вектора цієї прямої.

Для прикладу наведемо параметричні рівняння прямої виду . Ця пряма в прямокутній системі координат Oxy на площині проходить через точку з координатами і має направляючий вектор .

у статті параметричні рівняння прямої на площині Ви можете ознайомитися з докладним рішенням прикладів і завдань по цій темі.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо в загальному рівнянні прямої виду числа А, В і С такі, що довжина вектора дорівнює одиниці, а , То це загальне рівняння прямої називається нормальним рівнянням прямої. Нормальне рівняння прямої визначає в прямокутній системі координат Oxy пряму лінію, нормальним вектором якої є вектор , Причому ця пряма проходить на відстані від початку координат в напрямку вектора .

Часто можна бачити іншу форму запису нормального рівняння прямої: , де і - дійсні числа, що представляють собою напрямні косинуси нормального вектора прямої одиничної довжини (тобто, і справедливо рівність ), А величина p ( ) Дорівнює відстані від початку координат до прямої.

Для прикладу наведемо загальне рівняння прямої . Це загальне рівняння прямої є нормальним рівнянням прямої, так як і . Воно в прямокутній системі координат Oxy на площині задає пряму лінію, нормальний вектор якої має координати , І ця пряма удаленна від початку координат на 3 одиниці в напрямку нормального вектора .

Відзначимо, що рівняння прямої в нормальному вигляді дозволяє знаходити відстань від точки до прямої на площині .

Якщо в загальному рівнянні прямої числа А, В і С такі, що рівняння не є нормальним рівнянням прямої, то його можна привести до нормального вигляду. Про це читайте в статті нормальне рівняння прямої .

Список літератури.

• Мордкович А.Г. Алгебра. 7 клас. Частина 1: підручник для учнів загальноосвітніх установ.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е. Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7 - 9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е. Г. Геометрія. Підручник для 10-11 класів середньої школи.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія.

Колись розбиратися?

Замовте рішення