числовий ряд

1. Необхідна ознака збіжності ряду [ правити | правити код ]

Числовий ряд - одне з центральних понять математичного аналізу . Ряд записується як нескінченна сума [1] :

a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... {\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ ldots + a_ {n} + \ ldots} ; короткий запис: Σ n = 1 ∞ a n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

Тут a 1, a 2, a 3 ... {\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \ dots} - послідовність речових або комплексних чисел ; ці числа називаються членами ряду.

Щоб привласнити такому ряду числове значення, розглянемо послідовність «часткових сум», які виходять, якщо обірвати нескінченну суму на якомусь члені:

S 1 = a 1 {\ displaystyle S_ {1} = a_ {1}} S 2 = a 1 + a 2 {\ displaystyle S_ {2} = a_ {1} + a_ {2}} S 3 = a 1 + a 2 + a 3 {\ displaystyle S_ {3} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3}} ⋯ {\ displaystyle \ cdots} S n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n {\ displaystyle S_ {n} = a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ dots + a_ {n}} ⋯ {\ displaystyle \ cdots}

Якщо послідовність часткових сум має межа S {\ displaystyle S} (Кінцевий або нескінченний), то говорять, що сума ряду дорівнює S. {\ Displaystyle S.} При цьому, якщо межа кінцевий, то кажуть, що ряд сходиться. Якщо межа не існує або нескінченний, то кажуть, що ряд розходиться [1] .

Ряди широко застосовуються в математиці та інших науках для обчислень, для аналізу поведінки різноманітних функцій і т. П.

Найпростішим прикладом сходиться ряду є сума членів нескінченної геометричній прогресії [2] зі знаменником q <1 {\ displaystyle q <1} :

a + a q + a q 2 + a q 3 + ... {\ displaystyle a + aq + aq ^ {2} + aq ^ {3} + \ dots}

Часткова сума S n = a 1 - q n 1 - q. {\ Displaystyle S_ {n} = a {\ frac {1-q ^ {n}} {1-q}}.} Межа цього виразу lim n → ∞ S n = a 1 - q, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = {\ frac {a} {1-q}},} це і є сума нескінченної геометричної прогресії [1] . Наприклад, при a = 1, q = 1 2 {\ displaystyle a = 1, q = {\ frac {1} {2}}} виходить ряд, сума якого дорівнює 2:

1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ... {\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + \ dots}

десяткову дріб з нескінченною дробової частиною можна розглядати як суму ряду [2] ; наприклад, число π = 3,141 5926 ... {\ displaystyle \ pi = 3 {,} 1415926 \ dots} є сума наступного ряду:

3 + 1 10 1 + 4 10 2 + 1 10 3 + 5 10 4 + 9 10 5 + ... {\ displaystyle 3 + {\ frac {1} {10 ^ {1}}} + {\ frac {4} { 10 ^ {2}}} + {\ frac {1} {10 ^ {3}}} + {\ frac {5} {10 ^ {4}}} + {\ frac {9} {10 ^ {5} }} + \ dots}

Більш складним прикладом є ряд зворотних квадратів , Суму якого кращі математики Європи не могли знайти більш 100 років:

Σ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

Ряд 1 + 1 + 1 + ... {\ displaystyle 1 + 1 + 1 + \ dots} розходиться, сума його нескінченна. розходиться і гармонійний ряд : Σ n = 1 ∞ 1 n = ∞. {\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = {\ infty}.} « ряд Гранді »1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... {\ displaystyle 1-1 + 1-1 + 1-1 \ dots} розходиться, його часткові суми коливаються від 1 до 0, тому межі часткових сум не існує, суми у цього ряду немає.

Позитивний ряд - ряд, всі члени якого невід'ємні. У позитивних рядів сума завжди існує, але може бути нескінченна.

Знакозмінні ряд - ряд, в якому знаки членів чергуються: плюс, мінус, плюс, мінус і т. Д. Для таких рядів існує простий ознака збіжності Лейбніца . Знакозмінні варіант наведеного вище гармонійного ряду , На відміну від останнього, сходиться:

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln ⁡ (2) {\ displaystyle 1- {1 \ over 2} + {1 \ over 3} - {1 \ over 4} + {1 \ over 5} - \ cdots = \ ln (2)}

Кажуть, що числовий ряд сходиться абсолютно , Якщо сходиться ряд з абсолютних величин його членів:

Σ n = 1 ∞ | a n | {\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} |}

Абсолютно сходиться ряд сходиться і в звичайному сенсі цього поняття. При цьому всякий такий ряд має важливу властивість переместительности: при будь-перестановці членів абсолютно сходиться ряду виходить сходиться ряд з тієї ж сумою [3] .

Критерій абсолютної збіжності: ряд з дійсних чисел сходиться абсолютно тоді і тільки тоді, коли сходяться як ряд з позитивних його членів, так і ряд з негативних членів.

Нехай задані сходяться ряди Σ n = 1 ∞ a n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}} і Σ n = 1 ∞ b n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}} . тоді:

cn = Σ k = 1 nakbn - k + 1 = a 1 b 1 + (a 1 b 2 + a 2 b 1) + (a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b 1) + ⋯ + (a 1 bn + a 2 bn - 1 + ⋯ + anb 1) {\ displaystyle c_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {n-k + 1} = a_ {1 } b_ {1} + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1}) + (a_ {1} b_ {3} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {1}) + \ dots + (a_ {1} b_ {n} + a_ {2} b_ {n-1} + \ dots + a_ {n} b_ {1})}

Якщо обидва ряди сходяться, то їх сума і різниця також сходяться. Якщо обидва ряди сходяться абсолютно, то їх сума сходиться абсолютно. Якщо хоча б один з вихідних рядів сходиться абсолютно, то твір рядів сходиться.

Необхідна ознака збіжності ряду [ правити | правити код ]

Ряд a 1 + a 2 + a 3 + ... + an + ... {\ displaystyle {a} _ {1} + {a} _ {2} + {a} _ {3} + \ ldots + {a} _ { n} + \ ldots} може сходитися лише в тому випадку, коли член a n {\ displaystyle {a} _ {n}} (Загальний член ряду) зі зростанням його номера прагне до нуля:

lim n → ∞ a n = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {a} _ {n} = 0.}

Це необхідний ознака збіжності ряду, але він не є достатнім - у гармонійного ряду загальний член з ростом номера необмежено зменшується, проте ряд розходиться. Якщо ж загальний член ряду не прямує до нуля, то ряд завідомо розходиться.

Властивість 1. Якщо ряд

Σ n = 1 ∞ an = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a} _ {n} = {a} _ {1 } + {a} _ {2} + {a} _ {3} + {a} _ {4} + \ ldots} (1.1)

сходиться і його сума дорівнює S, то ряд

Σ n = 1 ∞ can = ca 1 + ca 2 + ca 3 + ca 4 + ... {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c {a} _ {n} = c {a} _ {1} + c {a} _ {2} + c {a} _ {3} + c {a} _ {4} + \ ldots} (1.2)

де c - довільне число, також збігається і його сума дорівнює cS. Якщо ж ряд (1.1) розходиться і з ≠ 0, то ряд (1.2) розходиться.

Властивість 2. Якщо сходиться ряд (1.1) і сходиться ряд

Σ n = 1 ∞ b n {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {b} _ {n}} ,

а їх суми дорівнюють S 1 {\ displaystyle {S} _ {1}} і S 2 {\ displaystyle {S} _ {2}} відповідно, то сходяться і ряди

Σ n = 1 ∞ (a n ± b n) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} ({a} _ {n} \ pm {b} _ {n})} ,

причому сума кожного дорівнює відповідно S 1 ± S 2 {\ displaystyle {S} _ {1} \ pm {S} _ {2}} .

Для з'ясування ключового в аналізі питання, сходиться чи ні заданий ряд, запропоновані численні ознаки збіжності (див. список ).

До сих пір невідомо, чи сходиться «ряд Флінт Хіллз» (Flint Hills Series) [4] :

Σ n = 1 ∞ cosec 2 ⁡ (n) n 3 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ operatorname {cosec} ^ {2} (n)} {n ^ { 3}}}}

Якщо вдасться довести, що цей ряд сходиться, то як наслідок вийде важливий факт: міра ірраціональності числа π {\ displaystyle \ pi} менше, ніж 2,5.

Відомо, що сума ряду зворотних квадратів і суми інших рядів із зворотними парними ступенями виражаються через ступеня числа π, {\ displaystyle \ pi} але мало що відомо про суму зворотних кубів ( « константу аперіо »):

1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ ≈ 1,202 0569 {\ displaystyle {\ frac {1} {1 ^ {3}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3} }} + {\ frac {1} {3 ^ {3}}} + {\ frac {1} {4 ^ {3}}} + \ dots \ approx 1 {,} 2020569} .

Ніхто поки не зумів зв'язати це значення з класичними константами або елементарними функціями [5] .

Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду .

Узагальненням поняття суми ряду є поняття підсумовує функції ряду , Вибір якої робить поняття суми розходиться (в класичному розумінні) ряду прийнятним. Запропоновано безліч варіантів такого узагальнення: збіжність по Пуассону - Абелю , Бореля , Чезаро , Ейлера , Ламберту і інші.

В аналізі досліджуються ряди не тільки з чисел, але і з наступного: статечні ряди , функціональні ряди , ряди Фур'є , ряди Лорана та ін.

• Вигодський М. Я. Довідник з вищої математики. - 12-е изд .. - М.: Наука, 1977. - 872 с.
• Зорич В. А. . Глава III. Межа. § 1. Межа послідовності // Математичний аналіз, частина I. - М.: Наука, 1981. - С. 104-114. - 544 с.
• Письмовий Д. Т. Частина 2 // Конспект лекцій з вищої математики. - 6-е изд. - М.: Айріс-прес, 2008.
• Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального й інтегрального числення, в трьох томах. - 6-е изд .. - М.: Наука, 1966. - Т. 2. - 680 с.