У демонстраційних варіантах ЄДІ 2018 року завдання на рішення простих рівнянь розташовані під номером 7 для базового рівня і під номером 5 для профільного рівня.
У загальному вигляді рівняння з однією змінною можна записати як, тобто як рівність, яке може (але не зобов'язана) містити в обох частинах змінну x. наприклад:
Що означає "вирішити рівняння"? Вирішити рівняння - це значить знайти всі його корені або довести, що їх немає.
Визначення: Коренем рівняння з однією змінною називають таке значення цієї змінної, яке звертає його в правильне числове рівність.
Рівняння, які мають одні і ті ж коріння, називаються рівносильними. Вирішуючи рівняння, ми прагнемо перетворити його до простішого вигляду. Не забувайте при цьому стежити за тим, щоб більш просте рівняння залишалося рівносильним вихідному. Як це зробити для різних типів рівнянь, я буду згадувати у міру розгляду прикладів. Спільними для всіх рівнянь є наступні, добре відомі вам, правила рівносильних перетворень:
Якщо в рівнянні яке-небудь доданок перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак, то вийде рівняння рівносильне даному.
Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то вийде рівняння, рівносильне даному.
З огляду на, специфіку цієї частини іспиту, робимо висновок, що рівнянь, що не мають коренів, в цьому завданні бути не може, тому що формат відповіді не дозволяє привести необхідну доказ. А якщо рівняння має більше одного кореня, то умова задачі буде сформульовано з урахуванням цього факту. Наприклад, "у відповіді вкажіть менший з коренів (більший, найбільший негативний, найменший позитивний ...)".
А використовуючи, поняття кореня, робимо висновок, що отриманий відповідь легко перевірити самостійно. Тому при вирішенні цього завдання ЄДІ з математики важливим етапом є перевірка.
Перевірка повинна проводитися безпосередньо за умовою задачі, надрукованому на бланку. В іншому випадку, ви не перевіряєте можливість того, що могли неуважно переписати умова на чернетку.
Отже, знайдена відповідь x 0 потрібно підставити в умову задачі і переконатися в тому, що висловлювання, які стоять в правій і лівій частинах рівності, приймають рівні числові значення.
Приклад.
Знайдіть корінь рівняння
Це рівняння відноситься до типу дрібно-раціональних. Найбільш простий вид подібних рівнянь p (x) ___ q (x) = 0.
Тому, що якщо якась дріб дорівнює нулю, то ми можемо міркувати логічно: це можливо в тому випадку, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю, тому що на нуль ділити не можна. Останнє необхідно враховувати, щоб позбутися від можливих "помилкових" ( "зайвих") коренів.
Рішення.
1) Перетворимо дріб до простішого вигляду.
Для цього перенесемо все в праву частину (не забудьте про зміну знака доданка при переході через знак рівності!). Потім приведемо дріб до спільного знаменника.
2) Чисельник дробу прирівнюємо до нуля:
3) Для знаменника записуємо умова
Далі вибираємо, що простіше,
- підставити в останню нерівність x = 14, щоб переконатися, що передбачуваний знайдений корінь не є "хибним":
або
- вирішити протилежне рівняння, щоб потім відкинути збігаються для чисельника і знаменника коріння:
В даному випадку, обидва підходи прості і очевидні.
4) Робимо висновок - значення змінної, яке звертає чисельник в нуль, і є шуканий корінь рівняння.
Відповідь: 14.
Перш, ніж переписати відповідь в бланк, робимо перевірку.
Перевірка.
1) Беремо вихідне умова завдання.
2) Замість x підставляємо наша відповідь: 14.
3) Обчислюємо числові значення кожної частини рівності окремо. У цьому прикладі в правій частині вже стоїть число, тому обчислимо тільки ліву частину.
4) Так як, то є коренем рівняння, і можна спокійно переписувати відповідь в бланк.
Прості рівняння з однією змінною.
Всі рівняння, які ви вирішували в школі, і які, відповідно, можуть зустрітися в цьому завданні ЄДІ з математики, можна розділити на кілька основних типів - раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні. Точні визначення цих термінів ви можете знайти в підручнику. Тут нас буде цікавити тільки класифікація за типами тих рівнянь, які представлені в банку завдань ЄДІ для задач з короткою відповіддю. Вона потрібна для того, щоб вміти "дізнаватися рівняння в обличчя" і відразу здогадуватися про те, з чого починати його рішення.
А починати рішення будь-якого рівняння зазвичай потрібно з перетворення його до найбільш простому виду. Найбільш простим, як правило, є такий спосіб запису рівняння, який збігається з "Загальним виглядом", представленим в підручнику. Тому що саме для цього способу запису існують рекомендації по отриманню відповіді. І саме ці рекомендації ви проходили на уроках, саме вони викладені в підручниках.
Нижче ви побачите таблицю, яка допоможе вам орієнтуватися в різноманітті рівнянь, які пропонуються в цьому завданні ЄДІ з математики. У ній символом x позначена змінна величина, невідоме значення якої потрібно знайти. В абсолютній більшості рівнянь використовується таке ж позначення. Однак не забувайте, що і інші символи, наприклад y, z, u, v, t, ..., мають право на існування в якості невідомих, в тому числі, і в рівняннях з однією змінною. Іншими символами в стовпці "Загальний вигляд" - a, b, c - позначені константи, тобто постійні для цього запису рівняння величини. Простіше кажучи, в конкретному випадку на їх місці просто стоятимуть числа.
І, нарешті, позначення з дужками - p (x), q (x), f (x), g (x) - це вираження. На уроках ви не раз мали чути термін "математичний вираз". Однак, якщо це вам все ще ні про що не говорить, то називайте його для себе, наприклад, формулою від x.
Спочатку щось в цій таблиці може вам здатися незрозумілим. Пропустіть це і поверніться до неї ще раз після розбору чергової групи прикладів, а також безпосередньо перед іспитом, щоб швидко повторити всі можливі варіанти, які можуть зустрітися в цьому завданні.
Увага: Таблиця кликабельна. Якщо клацнути лівою клавішею миші по одному з рівнянь в третьому стовпці, то завантажиться рішення цього прикладу. Але не поспішайте це робити. Спочатку подумайте, як його вирішите Ви самі. Потім порівняйте відповіді. Ваш спосіб вирішення необов'язково повинен збігатися з моїм. Основний критерій правильності - отримання тотожності при підстановці кореня в вихідне рівняння.
Зрозуміло, що одним прикладом різноманіття завдань кожного типу не вичерпується. Більш того, і методів розв'язання рівнянь одного типу потрібно знати кілька. Подивіться, наприклад, статті про квадратних рівняннях.
- 4,5 способу вирішення одного квадратного рівняння.
- Квадратне рівняння. Швидко і без помилок.
перейдіть по стрілці , Щоб знайти посилання на інші завдання ЄДІ 2018.