Формула Ціолковського

Відмінність реальної швидкості ракети від характеристичної [ правити | правити код ]
Використання формули Ціолковського при проектуванні ракет [ правити | правити код ]
Приклад розрахунку маси ракети [ правити | правити код ]
Розрахунок для двуступенчатой ракети [ правити | правити код ]

Формула Ціолковського визначає швидкість, яку розвиває літальний апарат під впливом тяги ракетного двигуна , Незмінною у напрямку, при відсутності всіх інших сил. Ця швидкість називається характеристичною:

де:

Ця формула була виведена К. Е. Ціолковського в рукописі «Ракета» 10 ( 22 ) травня 1897 [1] і опублікована в 1903 році в травневому випуску журналу « науковий огляд »В наступному вигляді [2] : 53 [3] :

VV 1 = ln ⁡ (1 + M 2 M 1), {\ displaystyle {V \ over V_ {1}} = \ ln \ left (1 + {M_ {2} \ over M_ {1}} \ right), } $VV 1 = ln ⁡ (1 + M 2 M 1), {\ displaystyle {V \ over V_ {1}} = \ ln \ left (1 + {M_ {2} \ over M_ {1}} \ right), }$

де V {\ displaystyle V} $де V {\ displaystyle V} - кінцева швидкість ракети, V 1 {\ displaystyle V_ {1}} - швидкість вириваються елементів щодо ракети, M 1 {\ displaystyle M_ {1}} - маса ракети без вибухових речовин (т$ - кінцева швидкість ракети, V 1 {\ displaystyle V_ {1}} - швидкість вириваються елементів щодо ракети, M 1 {\ displaystyle M_ {1}} - маса ракети без вибухових речовин (т. Е. Без палива), M 2 {\ displaystyle M_ {2}} - маса вибухових речовин.

Однак першими рівняння руху тіла зі змінною масою вирішили англійські дослідники У. Мур ( англ. William Moore ) В 1810-1811 роках, а також П. Г. Тейт і У. Дж. Стіл з Кембриджського університету в 1856 році.

Формула Ціолковського може бути отримана шляхом інтегрування диференціального рівняння Мещерського для матеріальної точки змінної маси :

m ⋅ d V → dt + u → ⋅ dmdt = 0 {\ displaystyle m \ cdot {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} + {\ vec {u}} \ cdot {\ frac { dm} {dt}} = 0} $m ⋅ d V → dt + u → ⋅ dmdt = 0 {\ displaystyle m \ cdot {\ frac {d {\ vec {V}}} {dt}} + {\ vec {u}} \ cdot {\ frac { dm} {dt}} = 0} ,$ ,

де:

Для ракетного двигуна ця величина і складає його питомий імпульс I {\ displaystyle I} $Для ракетного двигуна ця величина і складає його питомий імпульс I {\ displaystyle I} [4]$ [4]

для багатоступінчастої ракети кінцева швидкість розраховується як сума швидкостей, отриманих за формулою Ціолковського окремо для кожного ступеня, причому при розрахунку характеристичної швидкості кожного ступеня до її початку та маси додається сумарна початкова маса всіх наступних ступенів.

Введемо позначення:

Тоді формула Ціолковського для багатоступеневої ракети може бути записана в наступному вигляді:

V = Σ i = 1 NI i ⋅ ln ⁡ (M 0 + Σ j = i NM 1 j M 0 + M 2 i - M 1 i + Σ j = i NM 1 j) {\ displaystyle V = \ sum _ { i = 1} ^ {N} I_ {i} \ cdot \ ln \ left ({\ frac {M_ {0} + {\ sum _ {j = i} ^ {N}} M_ {1j}} {M_ { 0} + M_ {2i} -M_ {1i} + {\ sum _ {j = i} ^ {N}} M_ {1j}}} \ right)} $V = Σ i = 1 NI i ⋅ ln ⁡ (M 0 + Σ j = i NM 1 j M 0 + M 2 i - M 1 i + Σ j = i NM 1 j) {\ displaystyle V = \ sum _ { i = 1} ^ {N} I_ {i} \ cdot \ ln \ left ({\ frac {M_ {0} + {\ sum _ {j = i} ^ {N}} M_ {1j}} {M_ { 0} + M_ {2i} -M_ {1i} + {\ sum _ {j = i} ^ {N}} M_ {1j}}} \ right)}$

Відмінність реальної швидкості ракети від характеристичної [ правити | правити код ]

Оскільки в умовах реального польоту на ракету крім тяги двигунів діють і інші сили, швидкість, що розвивається ракетами в цих умовах, як правило, нижче характеристичної через втрати, що викликаються силами гравітації, опору середовища та іншими факторами.

У наступній таблиці наведено баланс швидкостей ракети Сатурн V при виведенні корабля Аполлон на траєкторію польоту до Місяця [5] .

Ступінь Характеристична швидкість, м / c Гравітаційні втрати, м / c Аеродинамічні втрати, м / c Втрати на управління, м / c Фактична швидкість, м / c Перша (S-IC) 3660 1220 46 0 2394 Друга (S-II) 4725 335 0 183 4207 Третя (S-IVB) 4120 122 0 4,5 3993,5 В сумі 12505 1677 46 187,5 10594,5 [6]

Як видно з таблиці, гравітаційна складова є найбільшою в загальній величині втрат. гравітаційні втрати виникають через те, що ракета, стартуючи вертикально, не тільки розганяється, але і набирає висоту, долаючи тяжіння Землі, і на це також витрачається паливо. Величина цих втрат обчислюється за формулою: [7]

Δ vg = ∫ 0 tg (t) ⋅ cos ⁡ (γ (t)) dt {\ displaystyle \ Delta v_ {g} \ = \ int \ limits _ {0} ^ {t} g (t) \ cdot \ cos (\ gamma (t)) \, dt} $Δ vg = ∫ 0 tg (t) ⋅ cos ⁡ (γ (t)) dt {\ displaystyle \ Delta v_ {g} \ = \ int \ limits _ {0} ^ {t} g (t) \ cdot \ cos (\ gamma (t)) \, dt} ,$ ,

де g (t) {\ displaystyle g (t)} $де g (t) {\ displaystyle g (t)} і γ (t) {\ displaystyle \ gamma (t)} - місцеве прискорення гравітації і кут між вектором сили тяги двигуна і місцевим вектором гравітації, відповідно, є функціями часу за програмою польоту$ і γ (t) {\ displaystyle \ gamma (t)} - місцеве прискорення гравітації і кут між вектором сили тяги двигуна і місцевим вектором гравітації, відповідно, є функціями часу за програмою польоту.

Як видно з таблиці, найбільша частина цих втрат припадає на ділянку польоту першого ступеня. Це пояснюється тим, що на цій ділянці траєкторія відхиляється від вертикалі в меншій мірі, ніж на ділянках наступних ступенів, і значення cos ⁡ (γ (t)) {\ displaystyle \ cos (\ gamma (t))} Як видно з таблиці, найбільша частина цих втрат припадає на ділянку польоту першого ступеня близько до максимального значення - 1.

Аеродинамічні втрати викликані опором повітряного середовища при русі ракети в ній і розраховуються за формулою:

Δ va = ∫ 0 t A (t) m (t) dt {\ displaystyle \ Delta v_ {a} \ = \ int \ limits _ {0} ^ {t} {\ frac {A (t)} {m ( t)}} \, dt} $Δ va = ∫ 0 t A (t) m (t) dt {\ displaystyle \ Delta v_ {a} \ = \ int \ limits _ {0} ^ {t} {\ frac {A (t)} {m ( t)}} \, dt} ,$ ,

де A (t) {\ displaystyle A (t)} $де A (t) {\ displaystyle A (t)} - сила лобового аеродинамічного опору, а m (t) {\ displaystyle m (t)} - поточна маса ракети$ - сила лобового аеродинамічного опору, а m (t) {\ displaystyle m (t)} - поточна маса ракети.

Основні втрати від опору повітря також припадають на ділянку роботи 1-го ступеня ракети, так як ця ділянка проходить в нижніх, найбільш щільних шарах атмосфери.

Корабель повинен бути виведений на орбіту зі строго визначеними параметрами, для цього система управління на активній ділянці польоту розгортає ракету за певною програмою, при цьому напрямок тяги двигуна відхиляється від поточного напрямку руху ракети, а це тягне за собою втрати швидкості на управління, які розраховуються за формулою:

Δ vu = ∫ 0 t F (t) m (t) ⋅ (1 - cos ⁡ (α (t))) dt {\ displaystyle \ Delta v_ {u} \ = \ int \ limits _ {0} ^ {t } {\ frac {F (t)} {m (t)}} \ cdot (1 \ cos (\ alpha (t))) \, dt} $Δ vu = ∫ 0 t F (t) m (t) ⋅ (1 - cos ⁡ (α (t))) dt {\ displaystyle \ Delta v_ {u} \ = \ int \ limits _ {0} ^ {t } {\ frac {F (t)} {m (t)}} \ cdot (1 \ cos (\ alpha (t))) \, dt} ,$ ,

де F (t) {\ displaystyle F (t)} $де F (t) {\ displaystyle F (t)} - поточна сила тяги двигуна, m (t) {\ displaystyle m (t)} - поточна маса ракети, а α (t) {\ displaystyle \ alpha (t)} - кут між векторами тяги і швидкості ракети$ - поточна сила тяги двигуна, m (t) {\ displaystyle m (t)} - поточна маса ракети, а α (t) {\ displaystyle \ alpha (t)} - кут між векторами тяги і швидкості ракети.

Найбільша частина втрат на управління ракети доводиться на ділянку польоту 2-го ступеня, оскільки саме на цій ділянці відбувається перехід від вертикального польоту в горизонтальний, і вектор тяги двигуна в найбільшою мірою відхиляється у напрямку від вектора швидкості ракети.

Використання формули Ціолковського при проектуванні ракет [ правити | правити код ]

Виведена в кінці XIX століття, формула Ціолковського і сьогодні становить важливу частину математичного апарату, використовуваного при проектуванні ракет, зокрема, при визначенні їх основних масових характеристик.

Шляхом нескладних перетворень формули отримуємо наступне рівняння:

M 1 M 2 = e V / I {\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {M_ {2}}} = e ^ {V / I}} $M 1 M 2 = e V / I {\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {M_ {2}}} = e ^ {V / I}} (1)$ (1)

Це рівняння дає відношення початкової маси ракети до її кінцевої масі при заданих значеннях кінцевої швидкості ракети і питомої імпульсу .

Введемо наступні позначення:

Маса конструкції ракети в великому діапазоні значень залежить від маси палива майже лінійно: чим більше запас палива, тим більше розміри і маса ємностей для його зберігання, більше маса несучих елементів конструкції, могутніше (отже, масивніше) рухова установка. Висловимо цю залежність у вигляді:

M k = M t k {\ displaystyle M_ {k} = {\ frac {M_ {t}} {k}}} $M k = M t k {\ displaystyle M_ {k} = {\ frac {M_ {t}} {k}}}$

де k {\ displaystyle k} $де k {\ displaystyle k} - коефіцієнт, що показує, яка кількість палива доводиться на одиницю маси конструкції$ - коефіцієнт, що показує, яка кількість палива доводиться на одиницю маси конструкції.

При раціональному конструюванні цей коефіцієнт в першу чергу залежить від характеристик (щільності та міцності) конструкційних матеріалів, використовуваних у виробництві ракети. Чим міцніше і легше використовувані матеріали, тим вище значення коефіцієнта k {\ displaystyle k} При раціональному конструюванні цей коефіцієнт в першу чергу залежить від характеристик (щільності та міцності) конструкційних матеріалів, використовуваних у виробництві ракети . Цей коефіцієнт залежить також від усередненої щільності палива (для менш щільного палива потрібні ємності більшого розміру і маси, що веде до зниження значення k {\ displaystyle k} ).

Попереднє рівняння може бути записано у вигляді:

M 0 + M t + M t / k M 0 + M t / k = e V / I {\ displaystyle {\ frac {M_ {0} + M_ {t} + M_ {t} / k} {M_ {0 } + M_ {t} / k}} = e ^ {V / I}} $M 0 + M t + M t / k M 0 + M t / k = e V / I {\ displaystyle {\ frac {M_ {0} + M_ {t} + M_ {t} / k} {M_ {0 } + M_ {t} / k}} = e ^ {V / I}} ,$ ,

що шляхом елементарних перетворень приводиться до вигляду:

M t = M 0 ⋅ k ⋅ (e V / I - 1) k + 1 - e V / I {\ displaystyle M_ {t} = {\ frac {M_ {0} \ cdot k \ cdot (e ^ {V / I} -1)} {k + 1-e ^ {V / I}}}} $M t = M 0 ⋅ k ⋅ (e V / I - 1) k + 1 - e V / I {\ displaystyle M_ {t} = {\ frac {M_ {0} \ cdot k \ cdot (e ^ {V / I} -1)} {k + 1-e ^ {V / I}}}}$

Ця форма рівняння Ціолковського дозволяє розрахувати масу палива, необхідного для досягнення одноступінчатої ракетою заданої характеристичної швидкості, при заданих масі корисного вантажу, значенні питомої імпульсу і значенні коефіцієнта k {\ displaystyle k} $Ця форма рівняння Ціолковського дозволяє розрахувати масу палива, необхідного для досягнення одноступінчатої ракетою заданої характеристичної швидкості, при заданих масі корисного вантажу, значенні питомої імпульсу і значенні коефіцієнта k {\ displaystyle k}$ . Формула має сенс, тільки коли значення, що виходить при підстановці вихідних даних, позитивно. оскільки експонента для позитивного аргументу завжди більше 1, чисельник формули завжди позитивний, отже, позитивним повинен бути і знаменник цієї формули:

k + 1 - e V / I> 0 {\ displaystyle k + 1-e ^ {V / I}> 0} $k + 1 - e V / I> 0 {\ displaystyle k + 1-e ^ {V / I}> 0} , Інакше кажучи, k> e V / I - 1 {\ displaystyle k> e ^ {V / I} -1}$ , Інакше кажучи, k> e V / I - 1 {\ displaystyle k> e ^ {V / I} -1}

Це нерівність є критерієм досяжності одноступінчатої ракетою заданої швидкості V {\ displaystyle V} $Це нерівність є критерієм досяжності одноступінчатої ракетою заданої швидкості V {\ displaystyle V} при заданих значеннях питомої імпульсу I {\ displaystyle I} і коефіцієнта k {\ displaystyle k}$ при заданих значеннях питомої імпульсу I {\ displaystyle I} і коефіцієнта k {\ displaystyle k} . Якщо нерівність не виконується, задана швидкість не може бути досягнута за жодних витратах палива: зі збільшенням кількості палива буде зростати і маса конструкції ракети і відношення початкової маси ракети до кінцевої ніколи не досягне значення, необхідного формулою Ціолковського для досягнення заданої швидкості.

Приклад розрахунку маси ракети [ правити | правити код ]

Потрібно вивести штучний супутник Землі масою M 0 = 10 {\ displaystyle M_ {0} = 10} $Потрібно вивести штучний супутник Землі масою M 0 = 10 {\ displaystyle M_ {0} = 10} т на кругову орбіту висотою 250 км$ т на кругову орбіту висотою 250 км. Наявний двигун має питомий імпульс I = 2900 {\ displaystyle I = 2900} м / c. Коефіцієнт k = 9 {\ displaystyle k = 9} означає, що маса конструкції складає 10% від маси заправленого ракети (ступені). визначимо масу ракети-носія .

Перша космічна швидкість для обраної орбіти становить 7759,4 м / с, до якої додаються передбачувані втрати від гравітації 600 м / c, характеристична швидкість, таким чином, складе V = 8359, 4 {\ displaystyle V = 8359,4} $Перша космічна швидкість для обраної орбіти становить 7759,4 м / с, до якої додаються передбачувані втрати від гравітації 600 м / c, характеристична швидкість, таким чином, складе V = 8359, 4 {\ displaystyle V = 8359,4} м / c (іншими втратами в першому наближенні можна знехтувати)$ м / c (іншими втратами в першому наближенні можна знехтувати). При таких параметрах величина e V / I = 17, 86 {\ displaystyle e ^ {V / I} = 17,86} . Нерівність (4) не виконується, отже, одноступінчатої ракетою при даних умовах досягнення поставленої мети неможливо.

Даний розрахунок є спрощеним і не враховує витрат на зміну потенційної енергії тіла, і при його прямому застосуванні виникає ілюзія, що витрати зменшуються з ростом висоти орбіти. В реальності без урахування втрат на опір атмосфери і гравітаційних втрат за час виведення на орбіту потрібна швидкість (миттєво приданная тілу на рівні нульової висоти над поверхнею) буде вищою. Її можна приблизно визначити, застосувавши закон збереження механічної енергії (гіпотетична еліптична орбіта з перицентра в точці дотику Землі і апоцентром на висоті цільової орбіти):

(M V 2 2) - (G m MR) = (m V 0 2 2) - (G m M r) {\ displaystyle \ left ({\ frac {mV ^ {2}} {2}} \ right) - \ left ({\ frac {GmM} {R}} \ right) = \ left ({\ frac {mV_ {0} ^ {2}} {2}} \ right) - \ left ({\ frac {GmM } {r}} \ right)} $(M V 2 2) - (G m MR) = (m V 0 2 2) - (G m M r) {\ displaystyle \ left ({\ frac {mV ^ {2}} {2}} \ right) - \ left ({\ frac {GmM} {R}} \ right) = \ left ({\ frac {mV_ {0} ^ {2}} {2}} \ right) - \ left ({\ frac {GmM } {r}} \ right)} ,$ ,

де r - середній радіус Землі, а R - висота кругової орбіти (з урахуванням радіуса Землі, тобто R = r + H); V 0 2 = V 2 - 2 GM r + 2 GMR {\ displaystyle V_ {0} ^ {2} = V ^ {2} - {\ frac {2GM} {r}} + {\ frac {2GM} {R }}} $де r - середній радіус Землі, а R - висота кругової орбіти (з урахуванням радіуса Землі, тобто R = r + H); V 0 2 = V 2 - 2 GM r + 2 GMR {\ displaystyle V_ {0} ^ {2} = V ^ {2} - {\ frac {2GM} {r}} + {\ frac {2GM} {R }}}$ .

Якщо прийняти швидкість в перицентра рівній кругової на рівні поверхні Землі (V 0 2 = G M r {\ displaystyle V_ {0} ^ {2} = {\ frac {GM} {r}}} $Якщо прийняти швидкість в перицентра рівній кругової на рівні поверхні Землі (V 0 2 = G M r {\ displaystyle V_ {0} ^ {2} = {\ frac {GM} {r}}} ), То:$ ), То:

V 0 2 = 2 G M r - G M R {\ displaystyle V_ {0} ^ {2} = {\ frac {2GM} {r}} - {\ frac {GM} {R}}} $V 0 2 = 2 G M r - G M R {\ displaystyle V_ {0} ^ {2} = {\ frac {2GM} {r}} - {\ frac {GM} {R}}} , Або V 0 = 2 GM r 1 - r 2 R {\ displaystyle V_ {0} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {r} {2R} }}}}$ , Або V 0 = 2 GM r 1 - r 2 R {\ displaystyle V_ {0} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {r} {2R} }}}}

Це наближення не враховує імпульсів на перехід з кругової орбіти Землі на еліптичну і з еліптичної на нову кругову, а також може бути застосовано тільки до хомановскім переходах (тобто застосування для параболічних і гіперболічних переходів не працює), але набагато точніше, ніж просто приймати за потрібну швидкість першу космічну для широкого діапазону висот НГО.

Тоді на висоті 250 км потрібна швидкість для виведення складе 8,063 м / с, а не 7,764, а для ДСО (35 786 км над рівнем Землі) - вже 10,762 м / с, а не 3,077 м / с, як було б при ігноруванні витрат на зміну потенційної енергії.

Розрахунок для двуступенчатой ракети [ правити | правити код ]

Розділимо навпіл характеристическую швидкість, що складе характеристическую швидкість для кожної із ступенів двуступенчатой ракети: V = 4179, 7 {\ displaystyle V = 4179,7} $Розділимо навпіл характеристическую швидкість, що складе характеристическую швидкість для кожної із ступенів двуступенчатой ракети: V = 4179, 7 {\ displaystyle V = 4179,7} м / c$ м / c. На цей раз e V / I = 4, 23 {\ displaystyle e ^ {V / I} = 4,23} , Що відповідає критерію досяжності (4), і, підставляючи в формули (3) і (2) значення, для другого ступеня отримуємо:

M t 2 = 10 ⋅ 9 ⋅ (4, 23 - 1) 9 + 1 - 4, 23 = 50, 3 {\ displaystyle M_ {t2} = {\ frac {10 \ cdot 9 \ cdot (4,23-1 )} {9 + 1-4,23}} = 50,3} т;
M k 2 = 50, 3 9 = 5, 6 {\ displaystyle M_ {k2} = {\ frac {50,3} {9}} = 5,6} т.

Таким чином, повна маса другого ступеня становить 55,9 т.

Для першого ступеня до маси корисного навантаження додається повна маса другого ступеня; після відповідної підстановки отримуємо:

M t 1 = (10 + 55, 9) ⋅ 9 ⋅ (4, 23 - 1) 9 + 1 - 4, 23 = 331, 3 {\ displaystyle M_ {t1} = {\ frac {(10 + 55,9 ) \ cdot 9 \ cdot (4,23-1)} {9 + 1-4,23}} = 331,3} т;
M k 1 = 331, 3 9 = 36, 8 {\ displaystyle M_ {k1} = {\ frac {331,3} {9}} = 36,8} т.

Таким чином, повна маса першого ступеня становить 368,1 т, а загальна маса двоступеневої ракети з корисним вантажем складе 10 + 55,9 + 368,1 = 434 т. Аналогічним чином виконуються розрахунки для більшої кількості ступенів. В результаті отримуємо, що стартова маса триступеневої ракети складе 323,1 т, чотириступінчастою - 294,2 т, п'ятиступінчастою - 281 т.

На цьому прикладі видно, як виправдовується многоступенчатость в ракетобудуванні: при тій же кінцевій швидкості ракета з великим числом ступенів має меншу масу.

Ці результати отримані в припущенні, що коефіцієнт конструктивної досконалості ракети k {\ displaystyle k} $Ці результати отримані в припущенні, що коефіцієнт конструктивної досконалості ракети k {\ displaystyle k} залишається постійним, незалежно від кількості ступенів$ залишається постійним, незалежно від кількості ступенів. Більш ретельний розгляд показує, що це сильне спрощення. Сходинки з'єднуються між собою спеціальними секціями-перехідниками - несучими конструкціями, кожна з яких повинна витримувати сумарна вага всіх наступних ступенів, помножений на максимальне значення перевантаження , Яку відчуває ракета на всіх ділянках польоту, на яких перехідник входить до складу ракети. Зі збільшенням числа ступенів їх сумарна маса зменшується, в той час як кількість і сумарна маса перехідників зростають, що веде до зниження коефіцієнта k {\ displaystyle k} , А, разом з ним, і позитивного ефекту многоступенчатости . У сучасній практиці ракетобудування більше чотирьох ступенів, як правило, не робиться.

Такого роду розрахунки виконуються не тільки на першому етапі проектування - при виборі варіанта компонування ракети, а й на подальших стадіях проектування, в міру деталізації конструкції, формула Ціолковського постійно використовується при перевірних розрахунках, коли характеристичні швидкості перераховуються, з урахуванням сформованих з конкретних деталей співвідношень початкової і кінцевої маси ракети (ступені), конкретних характеристик рухової установки, уточнення втрат швидкості після розрахунку програми польоту на активній ділянці , І т. Д., Щоб контролювати досягнення ракетою заданої швидкості.

Для ракети, що летить зі швидкістю, близькою до швидкості світла, справедлива узагальнена формула Ціолковського:

M 2 M 1 = (1 - V c 1 + V c) c 2 I {\ displaystyle {\ frac {M_ {2}} {M_ {1}}} = \ left ({\ frac {1 - {\ frac {V} {c}}} {1 + {\ frac {V} {c}}}} \ right) ^ {\ frac {c} {2I}}} $M 2 M 1 = (1 - V c 1 + V c) c 2 I {\ displaystyle {\ frac {M_ {2}} {M_ {1}}} = \ left ({\ frac {1 - {\ frac {V} {c}}} {1 + {\ frac {V} {c}}}} \ right) ^ {\ frac {c} {2I}}} ,$ ,

де c {\ displaystyle c} $де c {\ displaystyle c} - швидкість світла [8]$ - швидкість світла [8] . Для фотонної ракети I = c {\ displaystyle I = c} і формула має вигляд:

M 1 M 2 = 1 + V c 1 - V c {\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {M_ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1 + {\ frac {V} {c }}} {1 - {\ frac {V} {c}}}}}} $M 1 M 2 = 1 + V c 1 - V c {\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {M_ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1 + {\ frac {V} {c }}} {1 - {\ frac {V} {c}}}}}} ,$ ,

Швидкість фотонної ракети обчислюється за формулою:

V c = 1 - (M 2 M 1) 2 1 + (M 2 M 1) 2 {\ displaystyle {\ frac {V} {c}} = {\ frac {1 \ left ({\ frac {M_ { 2}} {M_ {1}}} \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac {M_ {2}} {M_ {1}}} \ right) ^ {2}}}} $V c = 1 - (M 2 M 1) 2 1 + (M 2 M 1) 2 {\ displaystyle {\ frac {V} {c}} = {\ frac {1 \ left ({\ frac {M_ { 2}} {M_ {1}}} \ right) ^ {2}} {1+ \ left ({\ frac {M_ {2}} {M_ {1}}} \ right) ^ {2}}}}$

↑ Архів Російської академії наук (Аран). Ф. 555. Оп. 1. Д. 32. Лл. 1-2, 5, 11, 20. Див. електронні копії цих сторінок на сайті архівів РАН.
↑ Ціолковський К. Дослідження світових просторів реактивними приладами // науковий огляд . - 1903. - № 5. - С. 44-75.
↑ Ціолковський К. Е. Праці з ракетної техніки / За редакцією М. К. Тихонравова . - М.: Оборонгиз, 1947. - С. 33.
↑ Для теплового ракетного двигуна це справедливо при рівності тисків на зрізі сопла і в навколишньому середовищі. Формула Ціолковського зберігає свою справедливість незалежно від дотримання цієї умови.
↑ Пілотовані польоти на Місяць, конструкція і характеристики SATURN V APOLLO . Реферат ВІНІТІ. - М., 1973.
↑ До цієї величини додається швидкість обертання Землі на широті мису Канаверал , З якого проводилися пуски за програмою «Аполлон» - 406 м / с. Таким чином корабель Аполлон стартував до Місяця зі швидкістю 11 000 м / с. На висоті 500 км, (апогей навколоземної орбіти, з якої корабель переходив на траєкторію польоту до Місяця) друга космічна швидкість складає 10 772 м / c.
↑ Феодос'єв В., Сінярев Г. Введення в ракетну техніку. 2-е изд., Перераб. і доп. - М .: Оборонгиз, 1961.
↑ Льовантовський, 1980 , С. 444.

Льовантовський В. І. Механіка космічного польоту в елементарному викладі. - М.: Наука, 1980. - 512 с.

Формула Ціолковського

Відмінність реальної швидкості ракети від характеристичної [ правити | правити код ]

Використання формули Ціолковського при проектуванні ракет [ правити | правити код ]

Приклад розрахунку маси ракети [ правити | правити код ]

Розрахунок для двуступенчатой ​​ракети [ правити | правити код ]

Розрахунок для двуступенчатой ракети [ правити | правити код ]