Очевидне - недовідне, або Чому теореми Геделя про неповноту хвилюють не тільки математиків

Як розвивається наукова модель в природничих науках? Накопичується життєвий або науковий досвід, його віхи акуратно формулюються у вигляді постулатів і утворюють базу моделі: набір тверджень, прийнятих усіма, хто працює в рамках цієї моделі.

Нові дослідження і здобуті в них знання можуть похитнути набір тверджень, прийнятих в якості безперечних, і, якщо до того з'являються підстави, якісь твердження замінюються на нові. Наприклад, коли на порозі ХХ століття почався розвиток фізики в області, що виходить за межі звичного мак-Ромира, був сформульований постулат про те, що швидкість світла гранична, більше її швидкостей не буває.

Постулати реальної науки - результат великої і тривалої роботи по накопиченню знань. Їх неможливо довести абсолютно, але в конкретний момент вони найкраще підходять для опису спостерігається реальності і не викликають явних протиріч. Якщо ми виходимо з того, що яблуко падає з гілки на землю, а не летить куди завгодно, то ми приймаємо закон всесвітнього тяжіння, хоча довести його в абсолютному, логічному сенсі слова далеко не просто, якщо взагалі можливо.

Теорема Геделя - це математичне твердження, зроблене щодо одного конкретного інструменту пізнання - логіки.

Будь-яку логіку задають три структурних елемента: її алфавіт, затвердження і правила виводу.

Алфавіт - це, наприклад, символи змінних (A, B, C ...), які приймають різні значення, і квантори існування і спільності. З їх допомогою можна будувати затвердження, наприклад таке: «Будь-який дідусь - чоловік» ( « (Будь-який) х, що належить безлічі Х, належить також його безлічі Y », де х - людина, Х - безліч чоловіків, що мають онуків, а Y - безліч всіх чоловіків).

Це твердження є висловлюванням - воно завжди або істинно, або хибно. Але змінимо його трохи: «Будь-який предок старше тебе на два покоління - чоловік», - і в залежності від допустимих значень виразу «предок на два покоління старше тебе» твердження виявиться або істинним, або хибним. Для змінної х ( «предок старше на два покоління») можливо чотири значення для кожного x: дві бабусі і два дідусі. З них на безлічі бабусь твердження буде хибним, а на безлічі дідусів - істинним.

Різні твердження можуть містити одну і ту ж змінну, певну на одному й тому самому безлічі, і істинність обох буде однаковим чином залежати від її значення. Припустимо, в нашому світі все чоловіки люблять рибалку, а всі жінки - немає, тоді твердження «Людина любить риболовлю» істинно на безлічі чоловіків і помилково на безлічі жінок. Інакше кажучи, для будь-якого значення змінної, при якому істинно перше твердження, буде вірно і друге.

Правила виведення дозволяють конструювати з таких тверджень нові. Наприклад, твердження «Будь-який дідусь любить рибалити» виведено з двох попередніх, тому що будь-який дідусь - чоловік (за першим твердженням), а всі чоловіки люблять рибалити (по другому). Чи є воно істинним?

Для цього нам доведеться поставити собі запитання: а що таке справжнє твердження?

Логіка відповідає на нього так: це твердження, яке виводиться з набору аксіом даної логіки за допомогою правил виведення даної логіки або саме є аксіомою. Інакше кажучи, якщо, користуючись правилами виведення, ми можемо вивести з істинних тверджень якесь нове твердження, воно теж було це слово.

Але ж, маючи в своєму розпорядженні алфавітом, тверджень можна скласти нескінченно багато. Чи кожне з них ми можемо отримати з аксіом за допомогою правил виведення?

Це питання історично породжує багато суперечок. Наприклад, одну з найбільш затяжних полемік викликала аксіома про паралельних прямих: виводиться вона з чотирьох попередніх аксіом чи ні? Справа в тому, що геометрію спочатку будували на аксіоматиці, а не на «інтуїтивної зрозумілості» тих чи інших об'єктів. Перші аксіоми геометрії стверджують, що є точки і є прямі; є точки, що належать цій прямій, а є які не належать; через дві точки можна провести одну пряму. Існують ще три групи аксіом, незалежні одна від одної. П'ята ж звучить так: «У площині через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній». Суперечка про те, чи можна чи не можна вивести це твердження з чотирьох попередніх, тривав дві з гаком тисячі років.

Молодий віденський математик Курт Гедель задався питанням: будь чи висловлювання, можливе в даній конкретній логіці, можна вивести з набору її аксіом за допомогою її правил виведення? Інакше кажучи, чи можливі серед тверджень такі, які не можна перевірити на істинність (відповідність набору аксіом)?

У 1931 році він опублікував дві теореми, математично довівши, що твердження, створені в конкретній логіці, завжди будуть одного з трьох типів: ті, які можна вивести з базового набору аксіом (справжні); такі, що можна довести їх протиріччя аксіом (помилкові); і ні ті, ні інші.

Найкраще гёделевскій «принцип неповноти» можна проілюструвати ситуацією слідчого, у якого є підозрюваний і набір фактів. Можливо, слідчий відмовиться від своїх підозр на підставі повноцінного алібі. Можливо, доведе вину підозрюваного. Але не виключено і те, що йому не вистачить даних для вирішення, - іноді аксіоматика виявляється вузька. Зрозуміло, її можна розширити за потреби, наприклад доповнити ще однією аксіомою, і щось з невизначеного визначиться, але щось все одно залишиться невизначеним. Так розширити аксіоматику, щоб нічого невизначеного не залишилося, щоб затвердження розподілилися без залишку на справжні і несправжні, неможливо, що, власне, і становить логіко-математичну суть теореми Геделя.

Однак значимість доведеного Геделем виходить за межі математики, тому що апаратом логіки (алфавіт, аксіоматика, правила виводу) люди користуються при побудові будь-якої наукової моделі. І якщо постулат про паралельні прямі (як і будь-який інший) потенційно «має право" не бути виведеним з чотирьох аксіом геометрії, то ж вірно по відношенню до постулатів будь-якій області знання, де моделі будуються на логічних підставах. Тому що очевидне і доказові - не одне й те саме.