Свердловський обласний медичний коледж.
Тема реферату:
«Роль математики в медицині»
Виконав студент: Постніков Владислав.
Група: 293 МС.
Викладач: Казакова Т.С.
Єкатеринбург.
2012 - 2013 р
зміст:
1. Введення.
2. Математичні методи.
3. Статистична сукупність.
4. Дискретна випадкова величина і закони її розподілу.
5. Статистичне оцінювання.
6. Перевірка статистичних гіпотез.
7. Регресійний аналіз.
8. Кластерний аналіз.
9. Аналіз.
10. Математичне моделювання систем.
11. Компартментальное моделювання.
12. Метод чорного ящика.
13. Висновок.
1. Введення.
Математика - наука про структурах, порядку і відносинах, яка історично склалася на основі операцій підрахунку, вимірювання та опису форм реальних об'єктів. Математичні об'єкти створюються шляхом ідеалізації властивостей реальних або інших математичних об'єктів і записи цих властивостей на формальній мові. Математика не відноситься до природничих наук , Але широко використовується в них як для точного формулювання їх змісту, так і для отримання нових результатів. Математика - фундаментальна наука, що надає мовні засоби інших наук. Видатний італійський фізик і астроном, один із засновників точного природознавства, Галілео Галілей (1564-1642) говорив, що "Книга природи написана мовою математики". Майже через двісті років родоначальник німецької класичної філософії Іммануїл Кант (1742-1804) стверджував, що "У всякій науці стільки істини, скільки в ній математики". Нарешті, ще через майже сто п'ятдесят років, практично вже в наш час, німецький математик і логік Давид Гільберт (1862-1943) констатував: "Математика - основа всього точного природознавства".
2.Математіческіе методи.
Математичні методи в медицині - сукупність методів кількісного вивчення і аналізу стану і (або) поведінки об'єктів і систем, що відносяться до медицини і охорони здоров'я. У біології, медицині та охороні здоров'я в коло явищ, що вивчаються за допомогою М.М., входять процеси, що відбуваються на рівні цілісного організму, його систем, органів і тканин (в нормі і при патології); захворювання і способи їх лікування; прилади та системи медичної техніки; популяційні та організаційні аспекти поведінки складних систем в охороні здоров'я; біологічні процеси, що відбуваються на молекулярному рівні.
Ступінь математизації наукових дисциплін служить об'єктивною характеристикою глибини знань про вивчається предмет. Так, багато явищ фізики, хімії, техніки описуються М.М. досить повно. В результаті ці науки досягли високого ступеня теоретичних узагальнень. У біологічних науках М.М. поки ще відіграють підлеглу роль через складність об'єктів, процесів і явищ, варіабельності їх характеристики, наявності індивідуальних особливостей. Систематичні спроби використовувати М.М. в біомедичних напрямках почалися в 80-х рр. 19 в. Загальна ідея кореляції, висунута англійським психологом і антропологом Гальтон (F. Galton) і вдосконалена англійським біологом і математиком Пірсоном (К. Pearson), виникла як результат спроб обробки біомедичних даних. Точно так же зі спроб вирішити біологічні проблеми народилися відомі методи прикладної статистики. До теперішнього часу методи математичної статистики є провідними М.М. для біомедичних наук. Починаючи з 40-х рр. 20 в. математичні методи проникають в медицину і біологію через кібернетику і інформатику . Найбільш розвинені М.М. в біофізики, біохімії, генетики, фізіології, медичному приладобудуванні, створенні біотехнічних систем.
Математичні методи застосовують для опису біомедичних процесів (перш за все нормального і патологічного функціонування організму і його систем, діагностики та лікування). Опис проводять в двох основних напрямках. Для обробки біомедичних даних використовують різні методи математичної статистики, вибір одного з яких в кожному конкретному випадку грунтується на характері розподілу аналізованих даних. Ці методи призначені для виявлення закономірностей, властивих біомедичних об'єктів, пошуку й відмінностей між окремими групами об'єктів, оцінки впливу на них різноманітних зовнішніх факторів і т.п. На основі певної гіпотези про тип розподілу досліджуваних даних в серії спостережень і використання відповідного математичного апарату з тією чи іншою вірогідністю встановлюються властивості біомедичних об'єктів, робляться практичні висновки, даються рекомендації. Описи властивостей об'єктів, одержувані за допомогою методів математичної статистики, називають іноді моделями даних. Моделі даних не містять будь-якої інформації або гіпотез про внутрішню структуру реального об'єкта і спираються лише на результати інструментальних вимірювань. Статистичні методи обробки стали звичним і широко поширеним апаратом для працівників медицини і охорони здоров'я.
Існує кілька основних понять, необхідних для ефективного використання методів сучасної багатовимірної статистики.
3. Статистична сукупність.
Поняття, що лежить в основі всіх статистичних методів. Об'єкти, з якими мають справу в медицині, володіють великою варіабельністю - їх характеристики змінюються в часі і просторі в залежності від багатьох факторів, а також істотно відрізняються один від одного, Характеристики таких об'єктів зазвичай представляють у вигляді матриці спостережень, де стовпці відповідають різним ознаками, а рядки - або різних об'єктів, або послідовним у часі спостереженнями за одним і тим же об'єктом.
Через варіабельності вимірюваних ознак доводиться вважати їх значення випадковими величинами і користуватися ймовірносними (стохастическими) постановками задач: матриця спостережень є вибіркою, або вибіркової сукупністю випадкових величин з деякої генеральної сукупності. Сама генеральна сукупність зазвичай трактується як безліч всіх об'єктів певного типу або як сукупність всіх можливих реалізацій будь-якого явища. Основними завданнями статистичного дослідження є виявлення та аналіз закономірностей, притаманних об'єктам у вибірці, з метою встановлення можливості і достовірності перенесення зроблених висновків на генеральну сукупність.
Ознаки, що характеризують об'єкти в медицині і охороні здоров'я, поділяються на кількісні, порядкові і якісні. Для кількісних ознак можна вказати точну характеристику - число (наприклад, вага, зріст, величина артеріального тиску, дані аналізів), для порядкових ознак (рангових, якщо кожної градації ставиться у відповідність число - ранг) точна характеристика неможлива, але можна вказати ступінь вираженості належної якості (хрипи в легенях - поодинокі, множинні; інтенсивність кашлю - слабка, середня, сильна, дуже сильна). Якісні ознаки не піддаються упорядкування або ранжирування (колір очей - блакитний, сірий, коричневий).
Зазвичай об'єкти в біології та медицині описуються безліччю ознак одночасно. Набір враховуються при дослідженні ознак називається простором ознак. Значення всіх цих ознак для даного об'єкта однозначно визначають його положення як точку в просторі ознак. Якщо ознаки розглядаються як випадкові величини, то точка, що описує стан об'єкта, займає в просторі ознак випадкове положення.
4. Дискретна випадкова величина і закони її розподілу.
Реальний зміст поняття «випадкова величина» може бути виражено за допомогою такого визначення: випадковою величиною, пов'язаної з даними досвідом, називається величина, яка при кожному здійсненні цього досвіду приймає те чи інше числове значення, причому заздалегідь невідомо, яке саме. Випадкові величини будемо позначати буквами 
Визначення. Кажуть, що заданий дискретний випадкова величина 
, Якщо вказано кінцеве або рахункове безліч чисел
і кожному з цих чисел 
поставлено у відповідність деяке позитивне число 
, причому
числа 
називаються можливими значеннями випадкової величини 
, А числа 
- можливостями цих значень ( 
).
Таблиця
називається законом розподілу дискретної випадкової величини 
.
Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини зображують графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки 
і з'єднують послідовно відрізками прямих. Що виходять при цьому ламана лінія називається багатокутником розподілу випадкової величини 
.
Якщо можливими значеннями випадкової величини 
є 0, 1, 2, ..., n, а відповідні їм ймовірності обчислюються за формулою Бернуллі:
то кажуть, що випадкова величина 
має біноміальний закон розподілу:
Нехай задані натуральні числа m, n, s, причому 
Якщо можливими значеннями випадкової величини 
є 0,1,2, ..., m, а відповідні їм ймовірності виражаються за формулою
то кажуть, що випадкова величина 
має гіпергеометричний закон розподілу.
Іншими часто зустрічаються прикладами законів розподілу дискретної випадкової величини є:
геометричний
де 
;
Закон розподілу Пуассона:
де
- позитивне постійне.
Закон розподілу Пуассона є граничним для біноміального при 
, 
, 
. З огляду на це обставини при великих n і малих p біноміальні ймовірності обчислюються приблизно за формулою Пуассона:
де 
.
5. Статистичне оцінювання.
Застосовують в медичних дослідженнях, коли одержуваних даних недостатньо для встановлення виду функції розподілу випадкових величин. В цьому випадку припускають, що реалізується один із законів розподілу, а матрицю спостережень використовують для оцінки параметрів цього закону.
Статистичні оцінки можуть бути точковими або інтервальними. У першому випадку оцінка дається у вигляді чисел (як правило, це середнє значення і дисперсія). У другому випадку визначається інтервал, в якому досліджувана випадкова величина знаходиться із заданою вірогідністю. Отримувані оцінки повинні ставитися до генеральної сукупності. Інтервальна оцінка генерального середнього (математичного очікування) проводиться на основі розподілу Стьюдента (при числі спостережень не більше 50-60) або на основі гіпотези про нормальний розподіл (при більшій кількості спостережень). Для оцінки генеральної дисперсії застосовується распределеніеc2. Інтервал, в якому із заданою ймовірністю знаходиться генеральний параметр, називається довірчим інтервалом, сама така ймовірність - довірчою ймовірністю. У медичних дослідженнях використовують три порога довірчої ймовірності b: 0,95; 0,99; 0,999. Чим точніше потрібно результат, тим більшим порогом задається дослідник і тим ширше (за інших рівних умов) виходить довірчий інтервал. У статистиці поряд з поняттям довірчої ймовірності вживається термін «рівень значущості». Відповідно застосовуються три рівні значущості 0,05; 0,01 і 0,001.
6. Перевірка статистичних гіпотез.
Використовується найчастіше для визначення приналежності двох наявних вибірок до однієї і тієї ж генеральної сукупності. Подібні завдання виникають, наприклад, при аналізі захворюваності, ефективності лікарських препаратів і т.п.
Гіпотеза про те, що обидві вибірки не розрізняються, тобто належать до однієї генеральної сукупності, називається іноді нуль-гіпотезою. Ця гіпотеза приймається, якщо її значимість, що отримується на підставі статистичних критеріїв, перевищує допустимий поріг (р> 0,95). Однак при р <0,95 відкинути цю гіпотезу можна: відповідь залишається невизначеним, і для отримання остаточного висновку потрібні додаткові дані. Гіпотеза відкидається в тому випадку, якщо її значимість (ймовірність правильності) стає менше заданого стандартного порога.
При перевірці статистичних гіпотез використовуються параметричні і непараметричні критерії. У першому випадку проводиться порівняння параметрів двох вибіркових розподілів (середніх і дисперсій) і робиться висновок про рівність або відмінність цих параметрів в генеральних сукупностях. Гіпотеза про рівність середніх значень перевіряється за критерієм Стьюдента, рівність дисперсій - за критерієм Фішера. Опис відповідних процедур можна знайти в будь-якому посібнику з математичної статистики.
В останні роки велику популярність придбали непараметричні критерії (Уилкоксона, Колмогорова - Смирнова та ін.). Їх перевагою є те, що вони не містять обмежень, які випливають з гіпотез про тип розподілу випадкових величин, а спираються на єдиний принцип - безперервності розподілів.
Ці критерії застосовні і для аналізу порядкових даних. Однак у порівнянні з параметричними методами вони менш чутливі до відмінностей в вибірках. Найчастіше непараметричні критерії використовуються для порівняння емпіричного розподілу з теоретичним, зокрема при перевірці наявної статистичної сукупності на приналежність до типу нормальних розподілів.
7. Регресійний аналіз.
Регресією називається залежність середнього значення однієї випадкової величини від деякої іншої (або від декількох випадкових величин), а регресійний аналізом - розділ математичної статистики, об'єднуючий прикладні методи дослідження регресійних залежностей. Регресійний аналіз набув великої популярності в зв'язку з поширенням ЕОМ.
Якщо xi і yi - спостережувані випадкові величини, ei - випадкова помилка з нульовим математичним очікуванням, то регресія записується у вигляді:
yi = f (xi) + ei, i = 1, 2, ..., N,
де f - функція регресії.
Якщо xi - скалярна величина (число), то регресія називається парною (зв'язує пару випадкових величин), якщо xi - вектор, то множинної.
Завданням регресійного аналізу є знаходження «найкращої» функції f, яка описує залежність у від х. Оцінка проводиться або за методом найменших квадратів, або за методом максимуму правдоподібності (що можливо тільки при відомому розподілі величин у).
При використанні регресійного аналізу важливо правильно вибрати вид і ступінь складності регресійній моделі. Класичний шлях полягає в обліку біологічних, фізичних та інших передумов, а якість отриманої моделі оцінюється за величиною залишкових відхилень. Можливий спосіб перевірки гіпотези лінійності по залишковим відхилень - обчислюється показник нелінійності і проводиться перевірка достовірності його відмінності від нуля за критерієм Фішера. Інший підхід запропоновано в 1970-х рр. В.Н. Вапніка: при малих вибірках складність регресійній моделі повинна бути тим менше, чим менше обсяг вибірки, наявної в розпорядженні дослідника. Розроблено критерії оптимальної складності регресії в залежності від дисперсії залишкових відхилень і обсягу вибірки.
8. Кластерний аналіз.
Група методів статистичної обробки, яка включає методи класифікації об'єктів, в т.ч. автоматичні, на основі їх подібності. Кластерний аналіз, як і факторний, «стискає» інформацію. Але якщо факторний аналіз знижує розмірність простору ознак, то кластерний зменшує число аналізованих об'єктів. Сукупність об'єктів розбивається на кластери - групи об'єктів, що володіють подібними властивостями, тому замість всієї групи можна розглядати один об'єкт, що характеризує її. Так, ряд адміністративних територій може бути представлений у вигляді одного кластера, що об'єднує регіони з однаковою епідеміологічною обстановкою. Кластерний аналіз включає методи, які початково не приймають до уваги вірогідну природу оброблюваних даних. При постановці завдань кластеризації число кластерів, на яке повинно бути розбите вихідне безліч об'єктів, може здаватися заздалегідь або виявлятися в процесі вирішення.
Алгоритми кластерного аналізу спрямовані на отримання найкращого в певному сенсі якості розбиття сукупності об'єктів на групи.
9. Аналіз.
Сукупність методів дослідження багатовимірних ознак за рахунок зниження їх розмірності (шляхом введення так званих загальних факторів, які безпосередньо спостерігатися не можуть). У медицині методи факторного аналізу застосовуються для вирішення двох взаємопов'язаних завдань: угруповання вихідної системи ознак на основі їх кореляційних зв'язків і стиснення інформації за рахунок побудови системи узагальнених індикаторів.
У факторної моделі кожен вихідний ознака представляється у вигляді комбінації нових показників (загальних факторів), число яких, як правило, встановлюється менше числа вихідних. Такий метод опису зручний, наприклад, для отримання узагальнених індексів, що характеризують стан системи охорони здоров'я різних регіонів або однорідних установ (вихідні показники - захворюваність, смертність, кількість профоглядів - замінюються набором узагальнених показників, що визначають ресурсне забезпечення, якість лікарського обслуговування і т.п.) .
Недоліком факторного аналізу є труднощі змістовної інтерпретації загальних факторів.
10. Математичне моделювання систем.
Є другим кардинальним напрямком застосування М.М. в медицині. Основним поняттям, використовуваним при такому аналізі, є математична модель системи.
Під математичною моделлю розуміється опис будь-якого класу об'єктів або явищ, виконане за допомогою математичної символіки. Модель являє собою компактну запис деяких істотних відомостей про моделируемом явище, накопичених фахівцями в конкретній галузі (фізіології, біології, медицині). Іноді можна зустріти і застаріле значення терміна «математичне моделювання» як процесу аналізу моделі на ЕОМ. Щоб уникнути плутанини, в другому випадку використовують поняття «обчислювальний експеримент».
У математичному моделюванні виділяють кілька етапів. Основним є формулювання якісних і кількісних закономірностей, що описують основні риси явища. На цьому етапі необхідно широке залучення знань і фактів про структуру і характер функціонування даної системи, її властивості і проявах. Етап завершується створенням якісної (описової) моделі об'єкта, явища або системи. Цей етап не є специфічним для математичного моделювання. Словесний (вербальний) опис (часто з використанням цифрового матеріалу) в ряді випадків є кінцевим результатом фізіологічних, психологічних, медичних досліджень. Математичною моделлю опис об'єкта стає тільки після того, як воно на наступних етапах перекладається на мову математичних термінів.
11. Компартментальное моделювання.
Поширена в медицині та біології. Згідно з визначенням американського фармакологи і біохіміка Шеппарда (С.W. Sheppard, 1948), компартмент - це певна кількість речовини, що виділяється в біологічній системі і що володіє властивістю єдності, тому в процесах транспорту і хімічних перетворень його можна розглядати як ціле. Наприклад, в якості особливих компартментов розглядають весь кисень в легенях, всю вуглекислоту в венозної крові, кількість введеного препарату в міжклітинної рідини, запас глікогену в печінці і т.п. Моделі, в яких досліджувана система представляється у вигляді сукупності компартментов, потоків речовини між ними, а також джерел і стоків всіх речовин, називаються компартментальнимі.
У компартментальной моделі кожному компартментом відповідає своя змінна стану - кількісна характеристика компартмента (концентрація, маса речовини, парціальний тиск газу і т.п.). Речовина потрапляє в систему через джерела - природні (фізіологічні процеси зовнішнього дихання, наприклад джерело кисню) або штучні (крапельниця або ін'єкції); видаляються через стоки - природні (наприклад, нирка) або штучні (наприклад, апаратура гемосорбції). Темпи (швидкості) потоків речовини з одного компартмента в інший часто передбачаються пропорційними концентрацій або кількостей речовини в компартменте.
12. Метод чорного ящика.
Першим прикладом спрощеного опису живих систем в медицині та біології була модель чорного ящика, коли все висновки робилися тільки на основі вивчення реакцій об'єкта (виходів) на ті чи інші зовнішні впливи (входи) без урахування внутрішньої структури об'єкта. Відповідний опис об'єкта в поняттях вхід - вихід виявилося незадовільним, тому що воно не враховувало зміни його вихідних реакцій на один і той же вплив через вплив внутрішніх змін в об'єкті. Тому метод чорного ящика поступився місцем методам простору станів, в яких опис дається в поняттях вхід - стан - вихід. Найбільш природним описом динамічної системи в рамках теорії простору станів є компартментальное моделювання, де кожному компартментом відповідає одна змінна стану. У той же час співвідношення вхід - вихід і раніше широко використовуються для опису істотних властивостей біологічних об'єктів.
Вибір тих чи інших М.М. при описі і дослідженні біологічних і медичних об'єктів залежить як від індивідуальних знань фахівця, так і від особливостей вирішуваних завдань. Наприклад, статистичні методи дають повне рішення задачі у всіх випадках, коли дослідника не цікавить внутрішня сутність процесів, що лежать в основі досліджуваних явищ. Коли знання про структуру системи, механізми її функціонування, що протікають в ній процеси і виникають явища можуть істотно вплинути на рішення дослідника, вдаються до методів математичного моделювання систем.
13. Висновок.
Математика має майже таке ж значення для інших наук, як і логіка. Роль математики полягає в побудові і аналізі кількісних математичних моделей, а також в дослідженні структур, підпорядкованих формальним законам. Обробка та аналіз експериментальних результатів, побудова гіпотез і застосування наукових теорій в практичній діяльності вимагає використання математики. Математика всім потрібна. Набори чисел, як ноти, можуть бути мертвими значками, а можуть звучати музикою, симфонічним оркестром ... І медикам теж. Хоча б для того, щоб грамотно прочитати звичайну кардіограму. Без знання азів математики не можна бути докою в комп'ютерній техніці, скористатися наявними можливостями комп'ютерної томографії ... Адже сучасна медицина не може обходитися без складної техніки.
Колись математики прийшли в медицину з наївним уявленням, що вони легко вникнуть в наші симптоми і допоможуть поліпшити діагностику. З появою перших ЕОМ майбутнє видавалося просто чудовим: заклав у комп'ютер всю інформацію про хворого і отримав таке, що лікаря і не снилося. Здавалося, що машина може все. Але поле математики в медицині постало величезним і неймовірно складним, а її участь в діагностиці - зовсім не простим перебором і компонуванням багатьох сотень лабораторних та інструментальних показників.